Иррациональные уравнения и неравенства - статья

Колегаева Лена Михайловна, доцент кафедры математических способов и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным именуется выражение, содержащее корешки n-ой степени.

1) Одно из обычных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то нужно числитель и знаменатель помножить на сопряженное к Иррациональные уравнения и неравенства - статья нему выражение . В данном случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение (либо ), то числитель и знаменатель множится, соответственно, на (либо ). В данном случае используются формулы

,

.

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

.

Отметим очередное свойство:

которое нередко применяется в Иррациональные уравнения и неравенства - статья преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

в)

.


Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют символ: n=-1, n=1, n=0.

1) Если n<-1, то

2) Если -1£n<0, то

3) Если 0

4) Если n³1, то

Ответ:

II. Иррациональные уравнения.

Разглядим уравнение вида .

Основной способ решения – строительство обеих Иррациональные уравнения и неравенства - статья частей уравнения в степень n. При всем этом, если n – четное, то могут появиться посторонние корешки. Потому в уравнениях нужно делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», другими словами уравнение приводится к виду .

Очередной метод решения – введение вспомогательной переменной.

Пример Иррациональные уравнения и неравенства - статья 3. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а) Û ;

Проверка.

Þ х=-4 – сторонний корень,

– правильно Þ х=2 – корень.

Ответ: х=2.

б)

Проверка.

– это выражение не существует, т.е.

– сторонний корень,

– правильно Þ – корень.

Ответ: .

в)

Введем вспомогательную переменную Þ x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t2=-5.

Создадим оборотную подмену:

Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,

– не Иррациональные уравнения и неравенства - статья имеет решений.

Ответ: х=±6.

г)

Создадим подмену переменной. Положим . Тогда уравнение воспримет вид:

Û Û

Þ Û Û Û.

Проверка указывает, что – корень.

Ответ: .

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует держать в голове, что в четную степень можно строить неравенства с неотрицательными членами.

Потому неравенство эквивалентно системам

либо

Неравенство равносильно системе

Пример 4. Решить Иррациональные уравнения и неравенства - статья неравенства:

а) б)

в) г)

Решение.

а) Û Û

Решим третье неравенство системы способом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0

(x-7)(x+2)>0


Найдем скрещение решений 3-х неравенств:

Ответ: -18£x<-2.

б)

если х-1£0, то неравенство правильно, другими словами х£1;

если x-1>0 и потому что x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

Û Û x>1.

Объединяем два решения Иррациональные уравнения и неравенства - статья, получим х – хоть какое.

Ответ: х – хоть какое.

в)

Û Û Û

Û Û

Ответ: х³1.

г)

либо


Û х³3

Ответ: .

Задачки для самостоятельного решения

Почетаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить раздельно от заданий по другим предметам и выслать в адресок Хабаровской краевой заочной физико-математической школы Иррациональные уравнения и неравенства - статья.

Наш адресок: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) 2) 3)

4) , если , m>0, 0

М11.9.2. Решить уравнения

;

;

;

.

М11.9.3. Решить неравенства:

;

;

;

.


irlandskaya-kuhnya-referat.html
irlandskoe-vozrozhdenie-i-uilyam-jejts.html
iron-butterfly68-in-a-gadda-da-vida-atco-usa-3800-in-shrink-psychprog.html